Edunews.kz ақпарат агенттігі

X кездейсоқ шама мәндерінің сәйкес ықтималдық мәндеріне көбейтінділерінің қосындысын X кездейсоқ шамасының математикалық бағдары деп атайды.

I. Математикалық бағдар.

  Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңдылығы келесі кестеде берілген:

  Анықтама. X кездейсоқ шама мәндерінің сәйкес ықтималдық мәндеріне көбейтінділерінің қосындысын X кездейсоқ шамасының математикалық бағдары деп атайды.

  Математикалық бағдардың белгіленуі: М(Х).

  Анықтама бойынша математикалық бағдарды есептеу формуласы:

М(Х)=х₁*р₁+х₂р₂+…+х_п-1*р_п-1+х_пр_п            (1)

1-мысал.   Таралу заңдылығы 1) және 2) кестелерде берілген кездейсоқ шаманың математикалық бағдарын есептеңдер.

Ш е ш у і.   Әрқайсының математикалық бағдарын есептеу үшін (1) формуланы қолданамыз. Сонда

М(Х) = 3 · 0,1 + 7 · 0,2 + 11 · 0,4 + 13 · 0,2 + 16 · 0,1  = 10,3;

М(Ү) = 2 · 0,1 + 5 · 0,2 + 8 · 0,4 + 9 · 0,2 + 12 · 0,1 = 7,4.

Жауабы: 1) 10,3; 2) 7,4.

       2-мысал. 10 адам жұмыс істейтін компанияда жалақы төмендегідей бөлінген: екі адам 20 мың теңге; үш адам 40 мың теңге; төрт адам 80 мың теңге; бір адам 100 мың теңге алады. Ай сайын жалақыға 580 мың теңге бөлінеді. Барлық жұмыскерге бірдей еңбекақы төлесе, әрқайсысы айына қанша жалақы алған болар еді?

    Ш е ш у і. Жалақы мөлшері кездейсоқ шама болсын, жалақының таралу заңдылығын жазамыз.

Компаниядағы барлық адамдарға бірдей жалақы төленсе, онда әрқайсысы айына 58 мың теңге алған болар еді. Бұл айлық орташа жалақының мәні.

Математикалық бағдар осы орташа жалақының шамасын беруі керек. 

      Жауабы: 58000.

Демек,орташа жалақының шамасы математикалық бағдарға тең.

Математикалық бағдардың қасиеттері:

1)    егер С — тұрақты болса, онда

                    М(С) = С,                                  (1) 

                         М(СХ) = СМ(Х);                         (2)

2) X, Ү, Z  кездейсоқ шамалар болса, онда

      М(X+Y+Z)=M(X)+M(Y)+M(Z)                 (3)     болады.

     Математикалық бағдар кездейсоқ шаманың арифметикалық ортасына жақын орналасқан шаманың сандық сипаттамасы болатынын анықтадық. Кездейсоқ шаманың басқа мәндері арифметикалық ортадан қандай қашықтықта орналасатыны белгісіз болғандықтан, оны анықтаудың тәжірибелік мәні зор.

Мысалы, көптеген зауыттардың Республика бойынша орташа еңбек өнімділігі белгілі болғанымен, әр зауыттың өз еңбек өнімділігі белгісіз, ескерусіз күйде қала береді.

Республика көлемінде халықтардың орташа өмір сүру жағдайы белгілі болғанымен, халықтардың кейбір категорияларының өмір сүру жағдайлары орташа жағдайда әлдеқайда нашар болуы мүмкін.

 Кооперативтік шаруашылықтарда орташа өнім жағдайына көңіл бөлінеді. Жеке кооператив шаруашылықтарының өнімділігі көп жағдайда ескерусіз қалады.

   Демек, кездейсоқ шаманың мүмкін болатын мәндері оның орташа мәндеріне қатысты қалай орналасқанын зерттеу үшін кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары, яғни дисперсия, орташа квадраттық ауытқу ұғымдарына тоқталамыз.

   ІІ. Дисперсия.

  Анықтама. Ауытқудың екінші дәрежесінің математикалық бағдары X кездейсоқ  шамасының дисперсиясы деп аталады.

  Дисперсияның белгіленуі: D(Х).

  Анықтама бойынша дисперсияның формуласы:

                                   D(X)= М[Х - М(Х)]².      (4)

   Дисперсияның қасиеттері:

1)егер С тұрақты болса, онда

      D(С) = 0,                        (5)

D(СХ) = С²D(Х);                   (6)

2)                              D(Х) = М(Х²) - М(Х²)           (7)

3) X жөне Ү кездейсоқ шамалар болса, онда

D(Х +Ү) =D(Х) + D(Ү).            (8)

(4) жөне (7) формулаларының өзара тең екенін математикалык бағдардың қасиеттерін қолданып дөлелдейік.

  Дәлелдеу.

 М[Х- М(Х)]² = МІХ² - 2ХМ(Х) + М² (X)] = МІХ²) - 2М(Х)-М(М(Х)) + М²(Х) = М(Х²) - 2М(Х)-М(Х) + М² Х) = М(Х²) – 2M²(Х) + М²(Х) - М(Х²) – M²(Х). 

Демек, (9) формула дисперсияны есептеу формуласы болып табылады.

 3-м ы с а л. Төмендегі кестені қолданып, X кездейсоқ шамасының дисперсиясын есептейік:

     Шешуі.   Алдымен математикалық бағдарды анықтаймыз.

М(Х) = 5 · 0,2 + 7 · 0,5 + 10 · 0,2 + 15 · 0,1 = 8.

[X - М(Х)]² шамасының таралу заңдылығын құрайық.

 Ол үшін х₁ді есептеп көрсетейік: [X - М(Х)]² = (5 - 8)² = (-З)² = 9.

Тура осылай есептеп, х₂ = 1, х₃ = 4, х₄ = 49 аламыз.

    Демек, (6) формуланы қолданып, дисперсияны табамыз. Сонда

D(X) = М[Х - М(Х)]² = 9 · 0,2 + 1 · 0,5 + 4 · 0,2 + 49 · 0,1 = 8.

Жауабы: 8.

    III. Орташа квадраттық ауытқу.

    Дисперсия ұғымы — квадрат өлшемді ұғым, оның өлшемі кездейсоқ шаманың квадратына тең.

   Анықтама. 

Дисперсиядан  алынған  квадрат  түбір   орташа квадраттық ауытқу деп аталады.

   Орташа квадраттық ауытқудың белгіленуі: (X).

   Анықтама бойынша орташа квадраттық ауытқу

               (11)     формуласымен анықталады.

   Орташа квадраттық ауытқудың өлшемі — сызықтық өлшем.

4-мысал. Алдыңғы мысалдағы кездейсоқ шаманың орташа квадраттық ауытқуын анықтайық.

  Шешуі. Есептеу бойынша М(Х) = 8. Онда (11) формуланы қолданып,

мәнін аламыз.              Жауабы: 

 Енді кездейсоқ, шаманың сандық сипаттамасын беретін математикалық бағдар, дисперсия, орташа квадраттық ауытқуды есептеуге тапсырмалар орындайық.

 Жаттығулар

1. X кездейсоқ шамасының таралу аңдылығы төмендегі кестеде берілген:

  Математикалық бағдарды есептеңдер.

2. Кездейсоқ шаманың берілген таралу заңдылығы бойынша оның  

дисперсиясын табыңдар:  

3. Кездейсоқ шаманың таралу заңдылығы бойынша ауытқудың шамасын   табыңдар:

Жауаптарды сәйкестендір:

  Формулаларды аяқта:

Тест

1. Жәшікте 24 шар бар, оның 12-сі ақ, 8-і қызыл, 4-еуі жасыл түсті. Кездейсоқ алынған шардың қызыл түсті болуы ықтималдығын табыңдар.

         А.;        В.        С.       D. 

2.  Кесте X  кездейсоқ шамасының толық емес таралу заңдылығы берілген:

Белгісіз ықтималдардың таралуы 2:3:2 қатынасымен берілген деп, таралу заңдылығының кестесін толтырыңдар,                                                  

А.                                                          

 B.

 С.

D.

3.Кесте Х кездейсоқ шамалсының толық емес таралу заңдылығы берілген:

Белгісіз ықтималдықтардың таралуы бірдей, ал Х кездейсоқ шамасының белгісіз мәндер берілген мәндермен бірге өспелі арифметикалық прогрессия құрайды деп алып, кездейсоқ шаманың таралу заңдылығының кестесін толтырыңдар.

А.                                                         

 B.

 С.

D.

4

4.     Х кездесоқ шамасының берілген таралу заңдылығын қолданып

M(Х),  D(Х),    q(Х) мәндерін табыңдар

A.3,7; 0,45; 0,67;       В.3,5; 0,45; 0,76;

 С.4,2; 0,57; 0,67;        D.3,7; 0,54; 4,4.

Нұрила Естаева,

М.Өтебаев атындағы  жоғары жаңа технологиялар колледжінің  математика пәнінің мұғалімі

Шымкент қаласы